В треугольнике угол равен . Прямые, содержащие высоты и треугольника , пересекаются в точке . Точка центр окружности, описанной около треугольника .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть R — радиус описанной окружности, а D — точка, диаметрально противоположная B.
Углы BAD и BCD опираются на диаметр BD, поэтому оба равны 90°. Следовательно, AD ⟂ AB и CD ⟂ BC.
Так как H — точка пересечения прямых, содержащих высоты, CH ⟂ AB и AH ⟂ BC. Значит, AD ∥ CH и CD ∥ AH.
Таким образом, AHCD — параллелограмм, откуда AH = CD.
Точки A и D лежат на разных дугах с концами B и C, поэтому противоположные углы вписанного четырёхугольника BACD дают ∠BDC = 180° − ∠BAC = 60°.
В прямоугольном треугольнике BCD получаем ∠CBD = 30°, поэтому CD = BD/2 = R.
Следовательно, AH = R = AO.
Ответ: AH = AO, что и требовалось доказать.
б) По теореме синусов 2R = BC / sin 120° = √15 / (√3/2) = 2√5. Значит, AH = AO = √5.
Третий угол треугольника ABC равен ∠ACB = 180° − 120° − 45° = 15°.
Центральный угол AOB, соответствующий дуге AB, не содержащей C, равен 2∠ACB = 30°. В равнобедренном треугольнике AOB угол BAO = (180° − 30°)/2 = 75°.
Обоснуем расположение лучей. Основание N высоты CN находится на продолжении AB за A, поскольку ∠A тупой. При ∠B = 45° прямая BH, перпендикулярная AC, пересекает CN по другую сторону AB относительно C. Поэтому H лежит по другую сторону AB относительно C.
Из AH ⟂ BC получаем ∠BAH = 90° + ∠ABC = 135°. Центр O лежит с той же стороны AB, что и C: угол ACB острый, и C находится на большей дуге AB.
Следовательно, ∠HAO = 360° − ∠BAH − ∠BAO = 360° − 135° − 75° = 150°.
Искомая площадь S = AH · AO · sin 150° / 2 = √5 · √5 · (1/2) / 2 = 5/4.
Ответ: 5/4.