На сторонах , и треугольника отмечены точки , и соответственно, причём , , . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если отрезки и перпендикулярны, , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Применим теорему Менелая к треугольнику ABB₁ и секущей C₁DC. Точка C лежит на продолжении стороны AB₁, поэтому (AC₁/C₁B) · (BD/DB₁) · (B₁C/CA) = 1.
Подставляя данные, получаем (8/3) · (BD/DB₁) · (3/4) = 1, откуда BD/DB₁ = 1/2 и BD/BB₁ = 1/3.
По условию BA₁/BC = 1/3. Следовательно, BD/BB₁ = BA₁/BC, поэтому по обратной теореме Фалеса DA₁ ∥ B₁C.
Треугольники BDA₁ и BB₁C подобны с коэффициентом 1/3. Значит, DA₁ = B₁C/3 = AC/4 = AB₁.
В четырёхугольнике ADA₁B₁ противоположные стороны DA₁ и AB₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма ADA₁B₁ — параллелограмм.
Ответ к пункту а): утверждение доказано.
б) Нахождение радиуса.
Из пункта а) следует, что B₁A₁ ∥ AD. Поскольку AD ⊥ BC, треугольник B₁A₁C прямоугольный с прямым углом при A₁.
B₁C = 3AC/4 = 12, CA₁ = 2BC/3 = 10. По теореме Пифагора B₁A₁ = √(12² − 10²) = 2√11.
Опустим высоту AH на BC. Прямоугольные треугольники CHA и CA₁B₁ подобны по общему углу при C. Коэффициент подобия равен CA/CB₁ = 4/3.
Поэтому AH = 8√11/3, CH = 40/3. Так как CH < CB, точка H лежит на отрезке BC, и BH = 15 − 40/3 = 5/3.
Из прямоугольного треугольника ABH получаем AB = √((5/3)² + (8√11/3)²) = 9.
Площадь S треугольника ABC равна BC · AH/2. Используя формулу R = AB · BC · AC/(4S), получаем R = AB · AC/(2AH) = 9 · 16/(16√11/3) = 27√11/11.
Ответ к пункту б): 27√11/11.