Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Обозначим трапецию ABCD так, что AB ∥ CD, а AC = 6, BD = 8. На продолжении AB за точку B отметим точку E, для которой BE = CD.
В четырёхугольнике BECD противоположные стороны BE и CD параллельны и равны. Следовательно, BECD — параллелограмм, поэтому CE ∥ BD и CE = BD = 8.
При этом AE = AB + BE = AB + CD = 10.
В треугольнике ACE выполняется AC² + CE² = 6² + 8² = 100 = AE². По обратной теореме Пифагора угол ACE прямой, то есть AC ⊥ CE.
Поскольку CE ∥ BD, получаем AC ⊥ BD.
Ответ к пункту а): диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Нахождение высоты.
Площадь прямоугольного треугольника ACE равна S = AC · CE/2 = 6 · 8/2 = 24.
Высота этого треугольника, проведённая из C к прямой AE, равна высоте h трапеции: AE лежит на прямой AB, а C — на параллельной ей прямой CD.
По формуле площади треугольника S = AE · h/2 получаем 24 = 10h/2, откуда h = 4,8.
Ответ к пункту б): 4,8.