В четырёхугольник вписана окружность с центром Эта окружность касается стороны в точке Известно, что
а) Докажите, что точка лежит на прямой
б) Найдите длину стороны если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому ∠LMN = 360° − 90° − 120° − 120° = 30°.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов, следовательно, ∠MLO = 60°, ∠LMO = 15°.
Опустим из L перпендикуляр LH на прямую MN. Поскольку ∠LMN = 30°, точка H лежит на луче MN и ∠MLH = 60°.
Лучи LH и LO лежат по одну сторону от LM и образуют с ним одинаковые углы 60°, поэтому совпадают.
Радиус OA перпендикулярен MN. Значит, прямые LH и OA совпадают, поскольку обе проходят через O и перпендикулярны MN. Таким образом, A лежит на LO.
Ответ: точка A лежит на прямой LO.
б) Обозначим радиус окружности через r. В прямоугольном треугольнике MAO угол OMA равен 15°, поэтому MA = r·ctg 15°.
Аналогично, NO — биссектриса прямого угла MNK, поэтому ∠ANO = 45° и AN = r.
В треугольнике LMO угол LOM равен 180° − 60° − 15° = 105°. В прямоугольном треугольнике MOA угол MOA равен 75°. Следовательно, лучи OL и OA противоположны, то есть O лежит между L и A.
Расстояние от O до LM равно r, а угол между LO и LM равен 60°. Поэтому LO·sin 60° = r, откуда LO = 2r/√3.
По условию LA = LO + OA = 2r/√3 + r = 1. Значит, r = √3/(2 + √3) = 2√3 − 3.
По формуле тангенса разности tg 15° = tg(45° − 30°) = 2 − √3, поэтому ctg 15° = 2 + √3.
Таким образом, MN = MA + AN = r(3 + √3) = (2√3 − 3)(3 + √3) = 3√3 − 3.
Ответ: 3√3 − 3.