В четырёхугольник вписана окружность с центром Эта окружность касается стороны в точке Известно, что
а) Докажите, что точка лежит на прямой
б) Найдите длину стороны если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим радиус окружности через r, а точку её касания со стороной LM — через T. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов четырёхугольника.
Поэтому ∠OLM = ∠LMO = 30°. Следовательно, треугольник LOM равнобедренный, LO = MO и ∠LOM = 120°.
Радиус OA перпендикулярен MN. В прямоугольном треугольнике MOA угол OMA равен 30°, поэтому ∠MOA = 60°.
Точки L и A лежат по разные стороны от прямой MO: луч MO проходит внутри угла LMN, а A лежит на стороне MN. Поэтому ∠LOA = ∠LOM + ∠MOA = 120° + 60° = 180°.
Следовательно, точки L, O, A лежат на одной прямой, причём O находится между L и A. Ответ: утверждение доказано.
б) В прямоугольном треугольнике MOA катет OA лежит против угла 30°, поэтому MO = 2r. Поскольку LO = MO, получаем LA = LO + OA = 3r.
По условию LA = 3, значит, r = 1. По теореме Пифагора MA = √(MO² − OA²) = √(4 − 1) = √3.
Центр O лежит на биссектрисе прямого угла MNK, поэтому ∠ONA = 45°. Прямоугольный треугольник OAN равнобедренный, откуда AN = OA = 1.
Точка A лежит на стороне MN, следовательно, MN = MA + AN = √3 + 1. Ответ: 1 + √3.