Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Разложение на множители. Выносим x − 1 и используем равенство x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1):
(x² − x)a² + (x⁴ − x³ − x + 1)a − x³ + x² = (x − 1)(xa² + (x³ − 1)a − x²) = (x − 1)(ax − 1)(x² + a).
Таким образом, исходное уравнение равносильно (x − 1)(ax − 1)(x² + a) = 0. Число различных корней определим с учётом возможных совпадений.
б) Неотрицательные значения параметра. При a = 0 получаем −x²(x − 1) = 0. Корни 0 и 1 различны, поэтому a = 0 подходит.
При a > 0 уравнение x² + a = 0 не имеет действительных корней. Остаются x = 1 и x = 1/a.
Они различны при a ≠ 1. При a = 1 имеется только один корень x = 1. Значит, из положительных значений подходят a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞).
в) Отрицательные значения параметра. Пусть a < 0. Обозначим b = √(−a) > 0, тогда a = −b². Все возможные корни: 1, −1/b², b, −b.
Среди них 1 и b положительны, а −1/b² и −b отрицательны. Поэтому ровно два различных корня возможны только тогда, когда положительные корни совпадают между собой и отрицательные также совпадают.
Условия совпадения: b = 1 и −1/b² = −b. Второе равенство равносильно b³ = 1, то есть при b > 0 также даёт b = 1.
Следовательно, подходит только a = −1: корни равны −1 и 1. При любом другом a < 0 все четыре указанных корня различны.
Ответ: a ∈ {−1} ∪ [0; 1) ∪ (1; +∞).