Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет четыре различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Раскроем модуль. При x > 0 исходное уравнение равносильно уравнению 2x² + (a − 12)x + a(6 − a) = 0.
При x < 0 положим t = −x, где t > 0. Получим 2t² − (a + 6)t + a(6 − a) = 0.
Каждое квадратное уравнение даёт не более двух корней на соответствующей полуоси. Значение x = 0 является корнем только при a = 0 или a = 6.
Если нуль является корнем, то в каждом квадратном уравнении остаётся не более одного ненулевого корня. Поэтому общее число различных корней не превосходит трёх.
Следовательно, четыре различных корня получаются тогда и только тогда, когда оба квадратных уравнения имеют по два различных положительных корня.
б) Применим теорему Виета. Квадратное уравнение имеет два различных положительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен, сумма корней положительна и произведение корней положительно.
Для первого уравнения: D₁ = (a − 12)² − 8a(6 − a) = 9(a − 4)²; сумма корней равна (12 − a)/2, произведение равно a(6 − a)/2.
Для второго уравнения: D₂ = (a + 6)² − 8a(6 − a) = 9(a − 2)²; сумма корней равна (a + 6)/2, произведение равно a(6 − a)/2.
в) Найдём пересечение условий. Положительность произведений равносильна условию 0 < a < 6. На этом промежутке обе суммы положительны.
Условия D₁ > 0 и D₂ > 0 исключают соответственно a = 4 и a = 2: при этих значениях одна из пар корней сливается.
При a < 0 или a > 6 произведения отрицательны, поэтому каждое уравнение имеет только один положительный корень. Граничные значения a = 0 и a = 6 уже исключены в пункте а).
Таким образом, все остальные значения параметра исключены, а при найденных значениях получаются два положительных и два отрицательных различных корня.
Ответ: a ∈ (0; 2) ∪ (2; 4) ∪ (4; 6).