Найдите все значения при каждом из которых уравнение
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Преобразование уравнения.
Положим b = |a − 3| ≥ 0. По свойству модулей |x − b| + |x + b| = 2max(|x|, b). Получаем x⁴ + b² = 2max(|x|, b).
Уравнение чётное: вместе с любым ненулевым корнем x оно имеет отличный от него корень −x. Поэтому единственным корнем может быть только 0.
При x = 0 получаем b² = 2b, откуда b = 0 или b = 2.
б) Разбор значений b.
Если b = 0, уравнение принимает вид x⁴ = 2|x|. Оно имеет корни 0 и ±∛2, поэтому это значение не подходит.
Если 0 < b < 2, рассмотрим непрерывную функцию f(t) = t⁴ + b² − 2max(t, b), t ≥ 0.
Имеем f(0) = b(b − 2) < 0. При T = b + 2 > 2 получаем f(T) = T⁴ − 2T + b² > 0.
По теореме о промежуточном значении существует положительный корень t. Значит, исходное уравнение имеет два различных корня ±t и условию не удовлетворяет.
Если b = 2, то при |x| ≤ 2 уравнение равносильно x⁴ + 4 = 4, откуда x = 0. При |x| > 2 выполняется x⁴ > 2|x|, поэтому корней нет. Таким образом, корень единственный.
Если b > 2 и |x| ≤ b, то x⁴ + b² ≥ b² > 2b, поэтому равенство невозможно.
Если b > 2 и |x| > b, то x⁴ > 2|x|, поэтому равенство также невозможно. Следовательно, решений нет.
Ответ для b: b ≥ 2.
в) Возвращение к параметру.
|a − 3| ≥ 2 равносильно a ≤ 1 или a ≥ 5.
Ответ: a ∈ (−∞; 1] ∪ [5; +∞).