Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование системы.
ОДЗ: x − y + 3 ≥ 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.
Если √(x − y + 3) = 0, то y = x + 3. Пересечение с y = 3x + a даёт x = (3 − a)/2. При любом a получается ровно одно решение этой ветви.
Если x² − 5x − y + 3 = 0, то y = x² − 5x + 3. На этой параболе ОДЗ принимает вид 6x − x² ≥ 0, то есть 0 ≤ x ≤ 6.
После подстановки y = 3x + a получаем x² − 8x + 3 − a = 0, или (x − 4)² = a + 13.
Таким образом, нужно подсчитать корни последнего уравнения на [0; 6] и учесть возможное совпадение с решением первой ветви.
б) Корни второй ветви и совпадения.
При a < −13 корней второй ветви нет. При a = −13 имеется один корень x = 4.
При a > −13 обозначим d = √(a + 13). Корни: x₁ = 4 − d и x₂ = 4 + d.
Условие x₁ ∈ [0; 6] равносильно d ≤ 4, то есть a ≤ 3.
Условие x₂ ∈ [0; 6] равносильно d ≤ 2, то есть a ≤ −9.
Общая точка двух ветвей удовлетворяет x − y + 3 = 0 и y = x² − 5x + 3. Следовательно, x(6 − x) = 0.
Совпадение возможно только при x = 0, a = 3 или при x = 6, a = −9.
в) Подсчёт различных решений.
При a < −13 имеется только решение первой ветви: всего одно.
При a = −13 корень x = 4 второй ветви отличен от корня x = 8 первой ветви: всего два.
При −13 < a < −9 обе ветви дают три различных решения: одно и два соответственно.
При a = −9 вторая ветвь даёт x = 2 и x = 6, а первая — x = 6: всего два различных решения.
При −9 < a < 3 вторая ветвь даёт один допустимый корень, отличный от решения первой ветви: всего два.
При a = 3 обе ветви дают только x = 0: всего одно решение.
При a > 3 допустимых корней второй ветви нет: всего одно решение.
Ответ: a ∈ {−13} ∪ [−9; 3).