Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменной. Обозначим t = |x − a − 1| + |x − a + 1|. Раскрывая модули, получаем: t = 2 при |x − a| ≤ 1 и t = 2|x − a| при |x − a| > 1.
Поэтому t ≥ 2. Значению t = 2 соответствует весь отрезок [a − 1; a + 1], а каждому t > 2 — ровно два различных значения x = a ± t/2.
Исходное уравнение равносильно t² + at + a² − 16 = 0 при t ≥ 2. Для ровно двух корней x необходимо и достаточно, чтобы это квадратное уравнение имело ровно один корень t > 2, а t = 2 не был его корнем.
б) Разбор случаев. Пусть f(t) = t² + at + a² − 16. Тогда f(2) = a² + 2a − 12, D = 64 − 3a².
Если f(2) < 0, то точка 2 лежит строго между двумя корнями квадратного трёхчлена. Следовательно, ровно один корень больше 2, и условие выполнено.
Решаем: a² + 2a − 12 < 0 ⇔ (a + 1)² < 13 ⇔ −1 − √13 < a < −1 + √13.
Если f(2) = 0, то все x из отрезка [a − 1; a + 1] являются корнями. Такие значения параметра не подходят.
Если f(2) > 0 и D < 0, корней t нет. Если f(2) > 0 и D > 0, точка 2 находится вне промежутка между корнями, поэтому корней t > 2 либо два, либо ни одного. Эти случаи не подходят.
Остаётся D = 0. Единственный корень t = −a/2 должен быть больше 2. Из 64 − 3a² = 0 получаем a = ±8√3/3; условие −a/2 > 2 выполняется только при a = −8√3/3.
При этом t = 4√3/3 > 2, поэтому получаются ровно два корня x. Все случаи параметра рассмотрены.
Ответ: a ∈ {−8√3/3} ∪ (−1 − √13; −1 + √13).