Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и равносильные преобразования.
ОДЗ: 16 − y² > 0 и 16 − a²x² > 0. По свойству логарифмов с одинаковым основанием первое уравнение равносильно y² = a²x² при выполнении ОДЗ.
Поэтому исходная система равносильна условиям y² = a²x², x² + y² = 8x + 4y, |y| < 4: второе ограничение ОДЗ следует из первого и равенства y² = a²x².
Обозначим t = |a| ≥ 0. Тогда y = tx или y = −tx.
б) Случай t = 0.
Получаем y = 0 и x² = 8x. Решения (0; 0) и (8; 0) удовлетворяют ОДЗ. Следовательно, a = 0 подходит.
в) Случай t > 0.
Прямые y = tx и y = −tx имеют единственную общую точку O(0; 0), которая всегда является решением системы.
На прямой y = tx второе уравнение принимает вид x((1 + t²)x − 8 − 4t) = 0. Кроме O, получаем точку P с координатами x = 4(2 + t)/(1 + t²), y = 4t(2 + t)/(1 + t²).
Точка P отлична от O. Она удовлетворяет ОДЗ тогда и только тогда, когда t(2 + t) < 1 + t², то есть 0 < t < 1/2. При t = 1/2 имеем y = 4, поэтому P исключается.
На прямой y = −tx получаем x((1 + t²)x − 8 + 4t) = 0. Кроме O, возможна точка Q: x = 4(2 − t)/(1 + t²), y = −4t(2 − t)/(1 + t²).
Для Q условие ОДЗ имеет вид |2t − t²| < 1 + t². Обе его части выполняются: 1 + t² − (2t − t²) = 2(t − 1/2)² + 1/2 > 0, а 1 + t² + (2t − t²) = 1 + 2t > 0.
При t = 2 точка Q совпадает с O; при остальных t > 0 она отлична от O. Отличные от O точки P и Q различны, поскольку лежат на разных прямых.
Таким образом, при 0 < t < 1/2 решений три; при t ≥ 1/2 и t ≠ 2 — ровно два; при t = 2 — только одно.
С учётом t = 0 подходят |a| ≥ 1/2, |a| ≠ 2, а также a = 0.
Ответ: a ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; −1/2] ∪ {0} ∪ [1/2; 2) ∪ (2; +∞).