Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Разложение на множители.
Поскольку x³ − 2x² + 3x − 2 = (x − 1)(x² − x + 2), исходное уравнение равносильно:
(x − 1)(a² − (x² − x + 2)a − x²(x − 2)) = 0.
Разложим второй множитель: (x − 1)(a − x²)(a + x − 2) = 0.
Следовательно, все корни получаются из условий x = 1, x² = a, x = 2 − a. Совпадающие корни учитываем один раз.
б) Разбор значений параметра.
Если a < 0, уравнение x² = a не имеет действительных корней. Остаются x = 1 и x = 2 − a. Так как 2 − a > 2, это ровно два различных корня.
Если a = 0, получаем три различных корня: 0, 1 и 2. Это значение не подходит.
Если a > 0 и a ≠ 1, уже числа −√a, √a и 1 являются тремя различными корнями: первые два различны, отрицательный корень не равен 1, а √a ≠ 1. Поэтому таких значений среди искомых нет.
Если a = 1, все условия дают только x = −1 и x = 1, поскольку 2 − a = 1. Получаются ровно два различных корня.
Ответ: a ∈ (−∞; 0) ∪ {1}.