В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство. Обозначим через O центр основания. В правильной пирамиде SO перпендикулярна плоскости ABC.
Пусть H — основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Тогда KH ∥ SO. В треугольнике BSO по теореме о пропорциональных отрезках BH/BO = BK/BS = 6/7. Поскольку BO = BD/2, получаем BH/BD = 3/7.
Пусть T — точка пересечения CM и BD. Треугольники BMT и DCT подобны по двум углам: углы при T вертикальные, а BM ∥ DC. Поэтому BT/DT = BM/DC = (8 − 2)/8 = 3/4, откуда BT/BD = 3/7.
Таким образом, H и T совпадают, поэтому H лежит на CM. Следовательно, прямая KH принадлежит плоскости CKM и перпендикулярна плоскости ABC.
По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC. Ответ: утверждение доказано.
б) Нахождение объёма. Диагональ квадрата AC = 8√2, поэтому AO = 4√2. Из прямоугольного треугольника SAO по теореме Пифагора SO = √(SA² − AO²) = √(49 − 32) = √17.
Из подобия треугольников BKH и BSO следует KH/SO = BK/BS = 6/7. Значит, KH = 6√17/7.
За основание пирамиды BCKM примем треугольник BCM. Поскольку BM лежит на AB, а BC перпендикулярна AB, его площадь равна S(BCM) = BM · BC/2 = 6 · 8/2 = 24.
Высота из вершины K к плоскости этого основания равна KH. По формуле объёма пирамиды V = S(BCM) · KH/3 = 24 · 6√17/(3 · 7) = 48√17/7.
Ответ: 48√17/7.