Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Разложение на множители.
Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем выражения с параметром:
x⁴ − 4x³ + 8x + 3 + a(x + 1)(x − 3) = 0.
Так как x⁴ − 4x³ + 8x + 3 = (x + 1)(x − 3)(x² − 2x − 1), уравнение равносильно следующему:
(x + 1)(x − 3)(x² − 2x + a − 1) = 0.
Следовательно, x = −1 и x = 3 являются корнями при любом a. Для ровно двух различных корней квадратный множитель должен либо не иметь действительных корней, либо иметь только корни из множества {−1; 3}.
б) Разбор случаев параметра.
Уравнение квадратного множителя запишем в виде (x − 1)² = 2 − a.
Если a > 2, правая часть отрицательна, дополнительных корней нет. Исходное уравнение имеет ровно два различных корня.
Если a = 2, квадратный множитель даёт корень x = 1. Вместе с −1 и 3 получаем три различных корня, поэтому это значение не подходит.
Если a < 2, квадратный множитель даёт два различных корня x = 1 − √(2 − a) и x = 1 + √(2 − a).
Чтобы общее число различных корней осталось равным двум, эти корни должны совпасть с −1 и 3. Поскольку первый меньше 1, а второй больше 1, необходимо и достаточно √(2 − a) = 2, то есть a = −2.
При a = −2 исходное уравнение принимает вид (x + 1)²(x − 3)² = 0 и действительно имеет ровно два различных корня. При остальных a < 2 появляются дополнительные корни.
Ответ: a ∈ {−2} ∪ (2; +∞).