Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведение к квадратному уравнению.
Положим t = x² ≥ 0, b = |2a − 4|. Тогда y = b − t, а первое уравнение принимает вид t² + (b − t)² = a², то есть 2t² − 2bt + b² − a² = 0.
Каждый положительный корень t даёт ровно два решения исходной системы: x = ±√t, y = b − t. Корень t = 0 даёт одно решение, отрицательный корень решений не даёт.
Поэтому ровно четыре решения получаются тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет два различных положительных корня.
б) Условия на корни.
Дискриминант равен D = 4(2a² − b²). По теореме Виета сумма корней равна b, произведение равно (b² − a²)/2.
Два различных положительных корня существуют тогда и только тогда, когда D > 0, b > 0 и b² − a² > 0.
Эти условия равносильны двойному неравенству |a| < |2a − 4| < √2|a|.
в) Разбор значений параметра.
Если a ≤ 0, то |2a − 4| = 4 + 2|a| > √2|a|, поэтому решений неравенства нет.
Если 0 < a < 2, получаем a < 4 − 2a < √2a. Отсюда a < 4/3 и a > 4/(2 + √2) = 4 − 2√2.
Если a ≥ 2, получаем a < 2a − 4 < √2a. Отсюда a > 4 и a < 4/(2 − √2) = 4 + 2√2.
Все границы исключаются: на них либо появляется нулевой корень, либо совпадают два корня.
Ответ: a ∈ (4 − 2√2; 4/3) ∪ (4; 4 + 2√2).