Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет больше двух различных корней.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Раскрытие модуля. Обозначим t = −a/7. При x ≥ t исходное уравнение равносильно P(x) = x² − 6x + a² − 8a = 0; при x ≤ t — Q(x) = x² + 8x + a² − 6a = 0. В точке t обе формулы совпадают, и корень учитывается один раз.
Каждое квадратное уравнение имеет не более двух корней. Поэтому для существования более двух различных корней необходимо, чтобы оба квадратных уравнения имели действительные корни.
Их дискриминанты: D₁ = 4(25 − (a − 4)²), D₂ = 4(25 − (a − 3)²). Условия D₁ ≥ 0 и D₂ ≥ 0 дают соответственно a ∈ [−1; 9] и a ∈ [−2; 8]. Следовательно, достаточно исследовать a ∈ [−1; 8]; вне этого промежутка корней не более двух.
б) Расположение корней. Вершины парабол P и Q имеют абсциссы 3 и −4. При a ∈ [−1; 8] выполняется −4 < t < 3. Кроме того, P(t) = Q(t) = 50a(a − 7)/49.
Если 0 < a < 7, это значение отрицательно. У каждой параболы точка t находится строго между корнями. Поэтому на полупрямой x ≥ t лежит ровно один корень P, а на полупрямой x ≤ t — ровно один корень Q. Всего два различных корня.
Если −1 < a < 0 или 7 < a < 8, значение в точке t положительно, а оба дискриминанта положительны. Поскольку t < 3, оба корня P лежат правее t; поскольку t > −4, оба корня Q лежат левее t. Получаем четыре различных корня.
в) Граничные значения. При a = −1 парабола P касается оси в точке x = 3 > t, а Q имеет два корня левее t. Всего три корня. При a = 8 парабола Q касается оси в точке x = −4 < t, а P имеет два корня правее t. Снова три корня.
При a = 0 и a = 7 точка t является общим корнем P и Q. Второй корень P равен 6 − t > t, а второй корень Q равен −8 − t < t. Поэтому в каждом случае получаем три различных корня.
Итак, более двух различных корней существует при всех a из [−1; 0] и [7; 8], и только при них.
Ответ: a ∈ [−1; 0] ∪ [7; 8].