На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 033.
а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 303?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 31?
в) Отношение двух записанных на доске чисел является квадратом натурального числа Найдите наименьшее возможное значение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Сначала установим свойство записанных чисел. Возьмём любые два числа a и b. Для каждого k = 3, 4, 5 выберем ещё k − 1 чисел, отличных от a и b; это возможно, поскольку всего чисел 10.
Сумма выбранных чисел вместе с a и сумма тех же чисел вместе с b делятся на k. Поэтому их разность a − b делится на каждое из чисел 3, 4 и 5, а значит, на 60.
Следовательно, все записанные числа имеют одинаковый остаток при делении на 60. Поскольку 30 033 = 60 · 500 + 33, этот остаток равен 33.
Обратно, для любых чисел с остатком 33 при делении на 60 среднее любых k чисел, где k = 3, 4, 5 или 6, целое: сумма имеет вид 60t + 33k, а её частное на k равно 60t/k + 33.
а) Число 303 имеет остаток 3 при делении на 60, тогда как каждое записанное число должно иметь остаток 33. Ответ: нет.
б) Пусть два записанных числа равны a и 31a. Их разность 30a должна делиться на 60, поэтому a должно быть чётным.
Однако число с остатком 33 при делении на 60 нечётно. Получено противоречие. Ответ: нет.
в) Пусть b = n²a, где a и b — различные записанные числа. Тогда n > 1 и разность (n² − 1)a делится на 60.
Запишем a = 60q + 33. Отсюда 33(n² − 1) делится на 60, значит, 11(n² − 1) делится на 20. Поскольку 11 и 20 взаимно просты, n² − 1 делится на 20.
Поэтому n нечётно и n² имеет остаток 1 при делении на 5. Среди натуральных n от 2 до 8 нечётными являются только 3, 5 и 7; их квадраты имеют остатки 4, 0 и 4 при делении на 5.
Следовательно, n ≥ 9. При n = 9 получаем n² − 1 = 80, что делится на 20.
Пример десяти чисел: 33, 93, 153, 213, 273, 333, 393, 453, 2673, 30 033.
Все они натуральные, различные и имеют остаток 33 при делении на 60, поэтому удовлетворяют условию о средних. При этом 2673/33 = 81 = 9². Ответ: 9.