а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Представим число в виде 2043 = 1026 + 1017.
Суммы цифр обоих слагаемых равны 9: 1 + 0 + 2 + 6 = 1 + 0 + 1 + 7 = 9.
Слагаемые натуральные и различные. Ответ: да.
б) Предположим, что 599 = a + b и суммы цифр слагаемых одинаковы. Запишем оба слагаемых тремя цифрами, при необходимости добавляя слева нули.
Сумма цифр единиц равна 9: она не превосходит 18 и оканчивается на 9. Поэтому переноса в разряд десятков нет.
По той же причине сумма цифр десятков равна 9, переноса в разряд сотен нет. Сумма цифр сотен равна 5.
Следовательно, сумма всех цифр двух слагаемых равна 9 + 9 + 5 = 23. Но при одинаковых суммах цифр она должна быть чётной. Получено противоречие.
Ответ: нет.
в) Пусть a₁ < a₂ < … < a₇ — семь натуральных чисел с общей суммой цифр s.
Каждое число имеет тот же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр. Поэтому разность любых двух выбранных чисел делится на 9 и aᵢ₊₁ − aᵢ ≥ 9.
Кроме того, a₁ ≥ s: число не меньше суммы своих цифр.
Если s ≥ 6, то сумма семи чисел не меньше s + (s + 9) + … + (s + 54) = 7s + 189 ≥ 231.
Пусть 1 ≤ s ≤ 5. Среди чисел от 1 до 99 сумму цифр s имеют ровно s + 1 чисел: s, s + 9, …, s + 9s.
Их не более шести, поэтому a₇ ≥ 100. Первые шесть чисел имеют сумму не меньше s + (s + 9) + … + (s + 45) = 6s + 135.
Таким образом, сумма всех семи чисел не меньше 6s + 235 ≥ 241 > 231.
Оценка 231 достигается на числах 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60: они различны, сумма цифр каждого равна 6.
Их сумма равна (6 + 60) · 7/2 = 231.
Ответ: 231.