В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки , и ,
а на окружности другого основания точка , причём образующая цилиндра, а диаметр основания. Известно, что , , .
а) Докажите, что угол между прямыми и равен .
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Угол ABC прямой, поскольку он вписан в окружность и опирается на диаметр AC. В прямоугольном треугольнике ABC имеем AC = AB/sin 30° = 2, BC = √(AC² − AB²) = √3.
Так как CC₁ перпендикулярна плоскости основания, треугольники ACC₁ и BCC₁ прямоугольные. По теореме Пифагора AC₁² = AC² + CC₁² = 4 + 8 = 12, BC₁² = BC² + CC₁² = 3 + 8 = 11.
Проведём через C₁ прямую, параллельную BC, и отметим на ней точку K так, чтобы векторы C₁K и CB были равны. Тогда BCC₁K — параллелограмм, поэтому BK ∥ CC₁ и BK = CC₁.
Следовательно, BK перпендикулярна плоскости ABC. Из прямоугольного треугольника ABK получаем AK² = AB² + BK² = 1 + 8 = 9. Кроме того, C₁K = BC = √3.
По теореме косинусов в треугольнике AC₁K: cos ∠AC₁K = (AC₁² + C₁K² − AK²)/(2AC₁ · C₁K) = (12 + 3 − 9)/(2 · 2√3 · √3) = 1/2.
Таким образом, ∠AC₁K = 60°. Поскольку C₁K ∥ BC, острый угол AC₁K равен углу между прямыми AC₁ и BC.
Ответ: а) угол между прямыми равен 60°.
б) Площадь боковой поверхности.
Радиус цилиндра r = AC/2 = 1, высота h = CC₁ = 2√2. По формуле площади боковой поверхности цилиндра S = 2πrh = 2π · 1 · 2√2 = 4√2π.
Ответ: б) 4√2π.