В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: , , . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём и . Точка середина ребра .
а) Докажите, что плоскость проходит через точку .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство. Введём прямоугольные координаты с началом A и осями вдоль AB, AD, AA₁. Тогда A(0; 0; 0), B(2√2; 0; 0), D₁(0; 6; 10).
По условию AE = 10 · 2/5 = 4, BF = 10 · 7/10 = 7. Поэтому E(0; 0; 4), F(2√2; 0; 7), T(2√2; 3; 10).
Точки E, F, T не лежат на одной прямой: EF лежит в грани ABB₁A₁, а T этой грани не принадлежит.
Все три точки удовлетворяют уравнению плоскости z = 4 + 3x/(2√2) + y. Следовательно, это уравнение плоскости EFT.
Координаты D₁ также удовлетворяют этому уравнению: 10 = 4 + 0 + 6. Значит, D₁ принадлежит плоскости EFT.
Ответ а): плоскость EFT проходит через D₁.
б) Площадь сечения. На гранях ABB₁A₁, BCC₁B₁, A₁B₁C₁D₁ и ADD₁A₁ плоскость высекает соответственно отрезки EF, FT, TD₁ и D₁E. Поэтому сечение — четырёхугольник EFTD₁.
Диагональ FD₁ делит его на треугольники EFD₁ и FTD₁. По формуле расстояния между точками получаем EF² = 8 + 9 = 17, ED₁² = 36 + 36 = 72, FD₁² = 8 + 36 + 9 = 53.
Из теоремы косинусов и формулы площади S = ab sin γ/2 следует: 16S² = 4a²b² − (a² + b² − c²)², где a, b, c — стороны треугольника.
Для треугольника EFD₁: 16S₁² = 4 · 17 · 72 − (17 + 72 − 53)² = 3600. Следовательно, S₁ = 15.
Для второго треугольника FT² = 9 + 9 = 18, TD₁² = 8 + 9 = 17, FD₁² = 53. Поэтому 16S₂² = 4 · 18 · 17 − (18 + 17 − 53)² = 900, откуда S₂ = 15/2.
Площадь сечения равна S₁ + S₂ = 15 + 15/2 = 45/2.
Ответ б): 45/2.