Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно 3 решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Равносильное преобразование. Исходное уравнение равносильно системе: x² + 2x − 3a ≥ 0 и x⁴ − 4x² + 9a² = (x² + 2x − 3a)². Действительно, при выполнении системы подкоренное выражение является квадратом неотрицательной правой части.
После раскрытия скобок второе равенство принимает вид 2x(x + 2)(2x − 3a) = 0.
Таким образом, возможны только корни x = 0, x = −2 и x = 3a/2. Каждый из них необходимо проверить по условию неотрицательности правой части.
б) Отбор корней. При x = 0 и при x = −2 правая часть равна −3a. Поэтому каждый из этих кандидатов является корнем тогда и только тогда, когда a ≤ 0.
При x = 3a/2 правая часть равна 9a²/4 ≥ 0, поэтому этот кандидат является корнем при любом a.
в) Число различных корней. При a > 0 существует только один корень x = 3a/2.
При a ≤ 0 все три кандидата являются корнями. Они различны, кроме случаев 3a/2 = 0 или 3a/2 = −2, то есть a = 0 или a = −4/3.
При a = 0 получаем два различных корня: −2 и 0; при a = −4/3 также два: −2 и 0. При остальных отрицательных a корней ровно три.
Ответ: a ∈ (−∞; −4/3) ∪ (−4/3; 0).