Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Предварительные случаи.
Поскольку x² + y² ≥ 0, при a < 0 решений нет. При a = 0 второе уравнение даёт x = y = 0, но первое тогда неверно: 0 ≠ −28.
б) Преобразование при a > 0.
По формуле разности квадратов x⁴ − y⁴ = (x² − y²)(x² + y²). С учётом второго уравнения первое равносильно a(x² − y²) = 12a − 28.
Деление на a допустимо, поэтому x² − y² = 12 − 28/a. Складывая и вычитая это равенство и x² + y² = a, получаем равносильную систему:
x² = (a² + 12a − 28)/(2a),
y² = (a² − 12a + 28)/(2a).
Если обе правые части положительны, каждое неизвестное имеет два противоположных ненулевых значения. Их независимый выбор даёт ровно четыре различные пары (x; y).
Если хотя бы одна правая часть отрицательна, решений нет. Если одна равна нулю, а другая положительна, решений два. Обе равняться нулю при a > 0 не могут, поскольку их сумма равна a.
в) Решение условий на параметр.
Таким образом, ровно четыре решения получаются тогда и только тогда, когда a > 0, a² + 12a − 28 > 0 и a² − 12a + 28 > 0.
Первое квадратное неравенство: (a − 2)(a + 14) > 0. При a > 0 оно равносильно a > 2.
Корни второго квадратного трёхчлена равны 6 − 2√2 и 6 + 2√2. По методу интервалов a² − 12a + 28 > 0 при a < 6 − 2√2 или a > 6 + 2√2.
Так как 6 − 2√2 > 2, пересечение условий даёт (2; 6 − 2√2) ∪ (6 + 2√2; +∞). Граничные значения исключаются: при каждом из них один квадрат равен нулю и решений только два.
Ответ: a ∈ (2; 6 − 2√2) ∪ (6 + 2√2; +∞).