Найдите все значения при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Замена переменных и симметрия.
Положим u = x + 4, b = a + 4. Тогда система принимает вид y = |u − b| − 4, 4|y| + u² = 16.
Второе уравнение задаёт две дуги: y = 4 − u²/4 и y = −4 + u²/4, где −4 ≤ u ≤ 4. Они имеют общие точки только при u = −4 и u = 4, y = 0.
Замена (u, b) на (−u, −b) сохраняет систему. Поэтому число решений зависит только от |b|; достаточно рассмотреть b ≥ 0.
б) Пересечения с нижней дугой.
Подстановка y = −4 + u²/4 даёт |u − b| = u²/4, то есть b = u + u²/4 или b = u − u²/4 при −4 ≤ u ≤ 4.
Обозначим f(u) = u + u²/4 = (u + 2)²/4 − 1 и g(u) = u − u²/4 = 1 − (u − 2)²/4.
Функция f убывает на [−4; −2] от 0 до −1 и возрастает на [−2; 4] от −1 до 8. Функция g возрастает на [−4; 2] от −8 до 1 и убывает на [2; 4] от 1 до 0.
Поэтому при 0 < b < 1 нижняя дуга даёт три точки; при b = 1 — две; при 1 < b ≤ 8 — одну; при b > 8 — ни одной. Корни двух уравнений здесь не совпадают: совпадение возможно только при u = b = 0.
При b = 0 получаем три различные точки нижней дуги: u = −4, 0, 4.
в) Пересечения с верхней дугой и общий подсчёт.
Подстановка y = 4 − u²/4 даёт |u − b| = 8 − u²/4. На [−4; 4] правая часть положительна, поэтому равносильно b = u + 8 − u²/4 или b = u − 8 + u²/4.
Первая функция равна 9 − (u − 2)²/4: она возрастает на [−4; 2] от 0 до 9 и убывает на [2; 4] от 9 до 8. Вторая равна (u + 2)²/4 − 9: убывает на [−4; −2] от −8 до −9 и возрастает на [−2; 4] от −9 до 0.
Следовательно, верхняя дуга даёт: при b = 0 — две точки; при 0 < b < 8 — одну; при 8 ≤ b < 9 — две; при b = 9 — одну; при b > 9 — ни одной.
Общие точки верхней и нижней дуг нужно учитывать один раз. При u = −4 условие даёт b = 0 или b = −8, а при u = 4 — b = 0 или b = 8. Значит, при b ≥ 0 совпадения возникают только при b = 0 и b = 8.
Итоговое число различных решений: при b = 0 — 3; при 0 < b < 1 — 4; при b = 1 — 3; при 1 < b < 8 — 2; при b = 8 — 2; при 8 < b < 9 — 2; при b = 9 — 1; при b > 9 — 0.
С учётом симметрии ровно четыре решения получаются при 0 < |b| < 1. Возвращаясь к параметру a, имеем 0 < |a + 4| < 1, то есть −5 < a < −3 и a ≠ −4.
Ответ: a ∈ (−5; −4) ∪ (−4; −3).