Окружность с центром касается боковых сторон и равнобедренного остроугольного треугольника и его высоты
а) Докажите, что
б) Найдите площадь треугольника если и
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём координаты: A(−a; 0), C(a; 0), B(0; h), где a > 0. Поскольку треугольник остроугольный, ∠ABC < 90°, поэтому h > a.
Обозначим точки касания со сторонами AB и BC через T и U. По свойству касательных BT = BU ≤ BC = BA. Прямоугольные треугольники BTO и BUO равны по гипотенузе и катету, поэтому BO — биссектриса угла ABC.
В равнобедренном треугольнике эта биссектриса является высотой. Следовательно, O(0; t), причём t < h.
Прямые AB и CH имеют уравнения hx − ay + ah = 0 и ax + hy − a² = 0 соответственно: вторая проходит через C и перпендикулярна AB.
Расстояния от O до этих прямых равны радиусу окружности. По формуле расстояния от точки до прямой получаем a(h − t)/√(h² + a²) = |ht − a²|/√(h² + a²).
Возведём равенство в квадрат: a²(h − t)² = (ht − a²)². После раскрытия скобок получаем (h² − a²)(t² − a²) = 0. Так как h > a, то t = a или t = −a.
Исключим t = −a. Пусть L = √(h² + a²) = BC. Из прямоугольного треугольника BOU следует BU = BO·cos∠OBC = (h + a)h/L.
Но h(h + a) > h² + a², поскольку h > a. Значит, BU > L = BC, что противоречит принадлежности U стороне BC. Поэтому t = a.
Таким образом, OA² = OC² = 2a², AC² = 4a². По обратной теореме Пифагора ∠AOC = 90°.
Ответ к пункту а): ∠AOC = 90°, что и требовалось доказать.
б) Из AC = 16 получаем a = 8. По доказанному O(0; 8), поэтому BO = h − 8 = 7, откуда h = 15.
Площадь треугольника равна S = AC·h/2 = 16·15/2 = 120.
Ответ к пункту б): 120.