Прямая, перпендикулярная стороне ромба пересекает его диагональ в точке а диагональ в точке причём
а) Докажите, что прямая делит сторону ромба в отношении
б) Найдите сторону ромба, если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через O. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Введём прямоугольные координаты: O(0; 0), A(−a; 0), C(a; 0), B(0; b), D(0; −b), где a > 0, b > 0.
Из AM:MC = 1:2 следует M(−a/3; 0), а из BN:ND = 1:3 получаем N(0; b/2).
Уравнение MN имеет вид −3x/a + 2y/b = 1, а уравнение BC — x/a + y/b = 1.
Для точки K пересечения этих прямых получаем x/a = 1/5, y/b = 4/5. Следовательно, K лежит на отрезке BC и BK = BC/5, KC = 4BC/5.
Ответ к пункту а): BK:KC = 1:4, что и требовалось доказать.
б) Найдём квадраты длин сторон треугольника BNK по формуле расстояния между точками.
BN² = b²/4; BK² = (a² + b²)/25; NK² = a²/25 + 9b²/100.
Поскольку MN перпендикулярна BC, треугольник BNK прямоугольный с гипотенузой BN. По теореме Пифагора BN² = BK² + NK².
Поэтому b²/4 = (a² + b²)/25 + a²/25 + 9b²/100. Умножая на 100, получаем 25b² = 8a² + 13b², откуда b² = 2a²/3.
По условию MN² = 6. С другой стороны, MN² = a²/9 + b²/4 = 5a²/18. Значит, a² = 108/5.
Квадрат стороны ромба равен AB² = a² + b² = 5a²/3 = 36, поэтому AB = 6.
Ответ к пункту б): 6.