В треугольнике точки , и середины сторон , и соответственно, высота, , .
а) Докажите, что точки , , и лежат на одной окружности.
б) Найдите , если .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
По теореме о средней линии B₁C₁ ∥ BC, A₁C₁ = AC/2.
В прямоугольном треугольнике AHC точка B₁ — середина гипотенузы AC, поэтому HB₁ = AC/2. Следовательно, HB₁ = A₁C₁.
Уточним расположение точек. ∠ABC = 180° − 120° − 45° = 15°. Оба угла при основании BC острые, поэтому H лежит внутри BC.
Из прямоугольных треугольников ABH и ACH: BH = AH/tg 15°, CH = AH/tg 45° = AH. Значит, BH > CH, поэтому точки расположены в порядке B, A₁, H, C.
Таким образом, A₁HB₁C₁ — равнобедренная трапеция: её основания A₁H и B₁C₁ параллельны, а боковые стороны HB₁ и A₁C₁ равны.
Углы при основании равнобедренной трапеции равны, а сумма углов при боковой стороне равна 180°. Следовательно, сумма её противоположных углов равна 180°.
По признаку вписанного четырёхугольника точки A₁, B₁, C₁, H лежат на одной окружности.
Ответ: утверждение доказано.
б) Вычисление A₁H.
Обозначим AH = h. По формуле тангенса разности tg 15° = tg(45° − 30°) = 2 − √3.
Тогда BH = h/(2 − √3) = h(2 + √3), CH = h.
По условию BC = BH + CH = h(3 + √3) = 6√3, откуда h = 3(√3 − 1).
Так как A₁ — середина BC и A₁ лежит между B и H, получаем A₁H = BH − BC/2 = (BH − CH)/2.
Следовательно, A₁H = h(1 + √3)/2 = 3(√3 − 1)(√3 + 1)/2 = 3.
Ответ: 3.