Окружность с центром в точке высекает на всех сторонах трапеции равные хорды.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую
сторону в точках и так, что , , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Пусть AD и BC — основания трапеции. Равные хорды окружности равноудалены от её центра, поэтому расстояния от O до прямых всех четырёх сторон равны некоторому r.
Основания лежат на различных параллельных прямых, поэтому O находится на средней параллели между ними, а высота трапеции равна 2r.
Докажем, что O лежит внутри трапеции. Обозначим AD = a, BC = b, AB = c, CD = d. Площадь трапеции S = (a + b)r.
Если O находится снаружи, то, находясь между основаниями, оно лежит за одной из боковых сторон. Пусть это AB. Складывая площади треугольников OAD, ODC, OCB и вычитая площадь OAB, получаем S = r(a + b + d − c)/2.
Сравнение двух выражений даёт d = a + b + c. Это невозможно: сторона CD строго меньше длины ломаной CBAD. Случай расположения O за стороной CD исключается аналогично. Значит, O внутри трапеции.
Внутренняя точка угла, равноудалённая от его сторон, лежит на его биссектрисе. Поэтому O принадлежит биссектрисам всех четырёх углов.
Ответ к пункту а): все биссектрисы пересекаются в точке O.
б) Пусть M — середина хорды KL. Перпендикуляр из центра окружности к хорде проходит через её середину, поэтому OM ⟂ AB и OM = r.
По условию AM = AK + KM = 15 + 3 = 18, BM = BL + LM = 5 + 3 = 8.
Так как AD ∥ BC, углы A и B трапеции в сумме составляют 180°. Их половины в сумме составляют 90°, поэтому в треугольнике AOB угол AOB прямой.
Отрезок OM — высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая к гипотенузе AB. По свойству этой высоты OM² = AM · BM = 18 · 8 = 144.
Следовательно, r = OM = 12. Высота трапеции равна 2r = 24.
Ответ к пункту б): 24.