В прямоугольном треугольнике точка лежит на катете , а точка лежит на продолжении катета за точку , причём и .
а) Отрезки и медианы треугольников и соответственно. Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Прямые и пересекаются в точке , а прямые и
в точке . Найдите , если , а .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство методом координат.
Выберем начало координат в точке C, ось x направим по лучу CA, ось y — по лучу CB. Оси перпендикулярны, поскольку ∠ACB = 90°.
Пусть AC = a, BC = b. Тогда C(0; 0), A(a; 0), B(0; b).
По условию CM = b, а N лежит на продолжении BC за C и CN = a, поэтому M(b; 0), N(0; −a).
Поскольку CP и CQ — медианы, P и Q являются серединами AB и MN соответственно.
По формуле координат середины отрезка P(a/2; b/2), Q(b/2; −a/2).
Скалярное произведение векторов CP и CQ равно (a/2)(b/2) + (b/2)(−a/2) = 0.
Оба вектора ненулевые, поэтому по признаку перпендикулярности векторов CP ⟂ CQ.
Ответ: утверждение доказано.
б) Вычисление KL.
При a = 5, b = 1 имеем A(5; 0), B(0; 1), M(1; 0), N(0; −5).
Прямая AB имеет уравнение x + 5y = 5, а прямая MN — уравнение 5x − y = 5: координаты соответствующих пар точек удовлетворяют этим уравнениям.
Решая систему x + 5y = 5, 5x − y = 5, получаем 26x = 30, откуда K(15/13; 10/13).
Прямая BM имеет уравнение x + y = 1, а прямая AN — уравнение x − y = 5.
Из системы x + y = 1, x − y = 5 находим L(3; −2).
По формуле расстояния между точками KL = √((3 − 15/13)² + (−2 − 10/13)²).
Следовательно, KL = √((24/13)² + (−36/13)²) = √1872/13 = 12√13/13.
Ответ: 12√13/13.