По кругу расставлено различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.
а) Может ли быть равным 360?
б) Может ли быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Рассмотрим остатки чисел при делении на 3. Все позиции считаем по кругу.
Ни одно число не делится на 3: иначе из суммы четырёх последовательных чисел, делящейся на 3, можно вычесть первое число, делящееся на 3, и получить сумму трёх последовательных чисел, делящуюся на 3. Это противоречит условию.
Значит, каждый остаток равен 1 или 2. Если среди четырёх последовательных чисел k чисел имеют остаток 1, то сумма остатков равна k + 2(4 − k) = 8 − k.
При 0 ≤ k ≤ 4 число 8 − k делится на 3 только при k = 2. Поэтому в каждой четвёрке ровно два числа с остатком 1 и два с остатком 2.
Пусть всего чисел с остатком 1 имеется A. Рассмотрим все N четвёрок, начинающихся в каждой из позиций. В них суммарно насчитывается 2N появлений чисел с остатком 1.
Каждое такое число входит ровно в четыре четвёрки, поэтому 4A = 2N, откуда A = N/2. Следовательно, N чётно, а чисел с остатком 2 также ровно N/2.
а) Среди натуральных чисел, не превосходящих 400, остаток 2 имеют числа 2, 5, …, 398. Их (398 − 2)/3 + 1 = 133.
При N = 360 понадобилось бы 180 различных чисел с остатком 2, а имеется лишь 133. Это невозможно.
Ответ: нет.
б) Выше доказано, что N обязательно чётно. Число 149 нечётно, поэтому оно не подходит.
Ответ: нет.
в) Поскольку N/2 ≤ 133, получаем оценку N ≤ 266.
Построим пример для N = 266. Для каждого целого k от 0 до 132 последовательно выпишем пару 3k + 1, 3k + 2 и замкнём полученную последовательность в круг.
Получатся числа 1, 2, 4, 5, …, 397, 398. Все 266 чисел различны, натуральны и не превосходят 400.
Остатки 1 и 2 чередуются, в том числе при переходе через конец записи. В любых четырёх соседних позициях сумма остатков равна 6 и делится на 3.
У любых трёх соседних чисел остатки равны либо 1, 2, 1, либо 2, 1, 2. Их суммы равны 4 и 5 соответственно и на 3 не делятся. Пример удовлетворяет всем условиям, поэтому оценка достигается.
Ответ: 266.