В классе больше 10, но не больше 26 учащихся, а доля девочек
не превышает 21 %.
а) Может ли в этом классе быть 5 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
Обозначим исходное число учащихся через n, число девочек через d. Тогда 11 ≤ n ≤ 26 и 100d ≤ 21n. В частности, d ≤ 5, поскольку 21 · 26 = 546 < 600.
а) Пусть в классе 24 учащихся, из них 5 девочек. Тогда 100 · 5 = 500 ≤ 21 · 24 = 504, то есть доля девочек не превышает 21 %. Все условия выполнены.
Ответ: да.
б) После прихода девочки доля девочек равна (d + 1)/(n + 1). Из исходного ограничения следует:
(d + 1)/(n + 1) ≤ (0,21n + 1)/(n + 1) = 0,21 + 0,79/(n + 1).
Поскольку n + 1 ≥ 12, эта доля не превышает 0,21 + 0,79/12 = 83/300 < 0,30. Поэтому получить 30 % невозможно.
Ответ: нет.
в) Докажем, что после прихода девочки её доля вместе с остальными девочками не превышает 25 %. Рассмотрим все возможные значения d.
Если 0 ≤ d ≤ 2, то (d + 1)/(n + 1) ≤ 3/12 = 1/4.
Если d = 3, то 21n ≥ 300, поэтому n ≥ 15. Следовательно, (d + 1)/(n + 1) ≤ 4/16 = 1/4.
Если d = 4, то 21n ≥ 400, поэтому n ≥ 20. Тогда (d + 1)/(n + 1) ≤ 5/21 < 1/4.
Если d = 5, то 21n ≥ 500, поэтому n ≥ 24. Тогда (d + 1)/(n + 1) ≤ 6/25 < 1/4.
Оценка достигается: первоначально в классе 11 учащихся и 2 девочки, причём 200 ≤ 21 · 11. После прихода девочки их становится 3 из 12, то есть ровно 25 %.
Ответ: 25.