В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем
в предыдущий день.
а) Может ли быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 3, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 6. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Да. Приведём пример для n = 6.
В первый день запишем 11 единиц. В следующие пять дней запишем соответственно: одну тройку и 9 единиц; одну пятёрку и 8 единиц; две четвёрки и 6 единиц; две пятёрки и 5 единиц; две пятёрки, одну тройку и 3 единицы.
Количество чисел по дням равно 11, 10, 9, 8, 7, 6 и строго убывает; суммы равны 11, 12, 13, 14, 15, 16 и строго возрастают. Все числа натуральные и меньше 6.
Ответ: да.
б) В первый день запишем 11 троек и одну двойку: количество чисел равно 12, сумма равна 35, среднее равно 35/12 < 3.
Во второй день запишем 9 пятёрок и две двойки: количество равно 11, сумма равна 49. В третий день запишем 10 пятёрок: количество равно 10, сумма равна 50.
Условия выполнены: 12 > 11 > 10 и 35 < 49 < 50. Среднее всех чисел равно (35 + 49 + 50)/(12 + 11 + 10) = 134/33 > 4.
Ответ: да.
в) Обозначим количество чисел в i-й день через kᵢ, а их сумму через Sᵢ. Так как S₁ = 6 и все числа натуральные, k₁ ≤ 6. Количество ежедневно уменьшается хотя бы на 1, поэтому kₙ ≤ 7 − n.
Каждое число не превосходит 5, следовательно, Sₙ ≤ 5kₙ ≤ 5(7 − n). Суммы — строго возрастающие целые числа, поэтому Sₙ ≥ 6 + n − 1. Отсюда n + 5 ≤ 35 − 5n, то есть n ≤ 5.
При n = 1 общая сумма равна 6. При n = 2 имеем S₂ ≤ 25, поэтому общая сумма не больше 31.
При n = 3 имеем S₃ ≤ 20 и S₂ ≤ 19, поэтому общая сумма не больше 6 + 19 + 20 = 45.
При n = 4 имеем S₄ ≤ 15, S₃ ≤ 14, S₂ ≤ 13, поэтому общая сумма не больше 6 + 13 + 14 + 15 = 48.
При n = 5 имеем S₅ ≤ 10; предыдущие суммы не превосходят соответственно 9, 8 и 7. Общая сумма не больше 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40.
Значение 48 достигается за четыре дня: сначала шесть единиц; затем числа 5, 5, 1, 1, 1; затем 5, 5, 3, 1; наконец 5, 5, 5. Количества равны 6, 5, 4, 3, суммы — 6, 13, 14, 15.
Ответ: 48.