В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки , и ,
а на окружности другого основания точка , причём образующая цилиндра, а диаметр основания. Известно, что , , .
а) Докажите, что угол между прямыми и равен .
б) Найдите объём цилиндра.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Поскольку AC — диаметр окружности, ∠ABC = 90° по теореме об угле, опирающемся на диаметр.
В прямоугольном треугольнике ABC имеем AC = AB/sin 30° = 2√2, BC = AC · cos 30° = √6.
Обозначим через B₁ конец образующей, выходящей из B, на основании, содержащем C₁. Четырёхугольник BCC₁B₁ — прямоугольник, поэтому B₁C₁ ∥ BC, B₁C₁ = √6 и BB₁ = 2.
Прямая BC перпендикулярна пересекающимся прямым AB и BB₁, поскольку AB ⟂ BC, а BB₁ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, BC ⟂ (ABB₁).
Так как B₁C₁ ∥ BC, получаем B₁C₁ ⟂ AB₁. По теореме Пифагора AB₁ = √(AB² + BB₁²) = √(2 + 4) = √6.
Таким образом, треугольник AB₁C₁ прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠AC₁B₁ = 45°. В силу B₁C₁ ∥ BC это и есть угол между прямыми AC₁ и BC.
Ответ: а) угол равен 45°, что и требовалось доказать.
б) Радиус основания r = AC/2 = √2, высота цилиндра h = CC₁ = 2.
По формуле объёма цилиндра V = πr²h = π · 2 · 2 = 4π.
Ответ: б) 4π.