Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и возможные корни.
ОДЗ: x ≤ 2/3, 16x² − a² > 0, 4x + a > 0.
Поскольку 16x² − a² = (4x − a)(4x + a), при 4x + a > 0 первое логарифмическое условие равносильно 4x − a > 0.
Следовательно, ОДЗ равносильна системе |a|/4 < x ≤ 2/3 и непуста только при |a| < 8/3.
При x = 2/3 оба произведения равны нулю, если логарифмы определены.
Поэтому x = 2/3 является корнем при любом |a| < 8/3.
При x < 2/3 множитель √(2 − 3x) положителен, и на него можно разделить обе части.
Получаем ln(16x² − a²) = ln(4x + a). В силу строгой монотонности логарифма это равносильно равенству их аргументов.
Следовательно, (4x + a)(4x − a) = 4x + a. На ОДЗ множитель 4x + a положителен, поэтому 4x − a = 1, откуда x = (a + 1)/4.
Для дополнительного корня необходимы и достаточны условия a + 1 > |a| и a + 1 < 8/3.
Первое условие равносильно a > −1/2: при a ≥ 0 оно выполнено всегда, а при a < 0 даёт 2a > −1.
Второе условие даёт a < 5/3.
Ответ пункта а): дополнительный корень, отличный от 2/3, существует ровно при −1/2 < a < 5/3.
б) Разбор всех значений параметра.
При |a| ≥ 8/3 ОДЗ пуста, корней нет.
При −1/2 < a < 5/3 имеются два различных корня.
При −8/3 < a ≤ −1/2 и при 5/3 ≤ a < 8/3 имеется ровно один корень x = 2/3.
При a = −1/2 дополнительная точка не входит в ОДЗ; при a = 5/3 она совпадает с x = 2/3. Поэтому обе границы включаются.
Ответ: a ∈ (−8/3; −1/2] ∪ [5/3; 8/3).