Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Разложим левую часть на множители. Поскольку x³−x²−4 = (x−2)(x²+x+2) и x⁴−4x² = (x−2)x²(x+2), исходное уравнение равносильно следующему:
(x−2)(a²+(x²+x+2)a+x²(x+2)) = 0.
Квадратный трёхчлен в скобках раскладывается на множители: a²+(x²+x+2)a+x²(x+2) = (a+x²)(a+x+2).
Следовательно, (x−2)(x²+a)(x+a+2) = 0. Всегда имеются корни x = 2 и x = −a−2; дополнительные действительные корни определяются уравнением x² = −a.
Ответ к пункту а): необходимо подсчитать различные числа среди 2, −a−2 и действительных корней уравнения x² = −a.
б) Разберём все случаи параметра. При a > 0 уравнение x² = −a не имеет действительных корней. Числа 2 и −a−2 различны, поскольку −a−2 < −2. Значит, все a > 0 подходят.
При a = 0 получаем три различных корня: 2, 0, −2. Это значение не подходит.
Пусть a < 0. Обозначим t = √(−a) > 0. Тогда корни образуют множество {2; t; −t; t²−2}, причём t и −t всегда различны.
Если t ≠ 2, то число 2 отлично и от t, и от −t: равенство 2 = t исключено условием, а 2 = −t невозможно при t > 0. Поэтому уже имеются как минимум три различных корня, независимо от значения t²−2.
Если t = 2, то a = −4 и множество корней равно {2; 2; −2; 2}. Получаем ровно два различных корня: −2 и 2.
Таким образом, среди отрицательных значений параметра подходит только a = −4; нулевое значение исключено, а все положительные подходят.
Ответ: a ∈ {−4} ∪ (0; +∞).