Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств
имеет хотя бы одно решение на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Найдём необходимые условия.
Ищем решение x ∈ [4; 5]. На этом отрезке x − 2 ≥ 0, поэтому квадратный корень определён.
Поскольку x − 1 > 0, первое неравенство равносильно a ≥ 4/(x − 1).
Из x ≤ 5 следует 4/(x − 1) ≥ 1, значит, a ≥ 1.
При a = 1 первое неравенство требует x ≥ 5. Тогда на заданном отрезке возможно только x = 5, но третье неравенство превращается в 15 < 15 и неверно.
Следовательно, a > 1.
Из второго неравенства и условия x ≤ 5 получаем a ≤ 2√(x − 2) ≤ 2√3.
Ответ: необходимое условие — 1 < a ≤ 2√3.
б) Докажем достаточность.
Пусть 1 < a ≤ 2√3. Выберем x = 5, принадлежащее отрезку [4; 5].
Первое неравенство выполнено: a(x − 1) = 4a > 4.
Второе неравенство выполнено: 2√(x − 2) = 2√3 ≥ a.
Третье неравенство выполнено: 3x = 15 < a + 14, поскольку a > 1.
Таким образом, при каждом указанном a система имеет хотя бы одно решение на заданном отрезке.
Ответ: a ∈ (1; 2√3].