Найдите все значения , для каждого из которых уравнение имеет единственное решение.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Сведение к квадратному уравнению.
Положим t = 5ˣ. Тогда t > 0, причём каждому положительному t соответствует ровно одно действительное x, поскольку показательная функция 5ˣ строго возрастает и принимает все положительные значения.
Исходное уравнение равносильно уравнению t² − (a + 6)t − (5 + 3|a|)t + (a + 6)(5 + 3|a|) = 0.
Разложив левую часть на множители, получим (t − (a + 6))(t − (5 + 3|a|)) = 0.
Таким образом, требуется ровно одно различное положительное значение среди t₁ = a + 6 и t₂ = 5 + 3|a|. Второе значение положительно при любом a.
б) Разбор случаев параметра.
Если a ≤ −6, то t₁ ≤ 0, а t₂ > 0. Поэтому исходное уравнение имеет единственное решение. Значение a = −6 также подходит: корень t = 0 недопустим.
Если a > −6, оба значения положительны. Единственное решение получается тогда и только тогда, когда они совпадают: a + 6 = 5 + 3|a|, то есть a + 1 = 3|a|.
При a ≥ 0 получаем a + 1 = 3a, откуда a = 1/2. Это значение удовлетворяет условиям рассматриваемого случая.
При −6 < a < 0 получаем a + 1 = −3a, откуда a = −1/4. Это значение также удовлетворяет условиям случая. При остальных a > −6 имеются два различных положительных корня t, следовательно, два решения x.
Ответ: a ∈ (−∞; −6] ∪ {−1/4; 1/2}.