Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Исследуем выражение с модулями. Обозначим f(x) = 3x + |x−a| + |2x+a+1|. Точки раскрытия модулей: x = a и x = −(a+1)/2.
При x ≤ min(a; −(a+1)/2) оба выражения под модулями неположительны, поэтому f(x) = −1.
Если a < −1/3, то между точками раскрытия модулей f(x) = 2x−2a−1; если a > −1/3, то между ними f(x) = 4x+2a+1.
При x ≥ max(a; −(a+1)/2) получаем f(x) = 6x+1. При a = −1/3 промежуточного участка нет.
Функция непрерывна; после постоянного участка она строго возрастает и принимает все значения больше −1. Поэтому каждому t > −1 соответствует ровно один x, значению t = −1 — бесконечно много x, а при t < −1 решений нет.
Ответ к пункту а): требуется, чтобы уравнение t²−at+a²−16 = 0 имело ровно один различный корень больше −1 и не имело корня −1.
б) Рассмотрим квадратное уравнение. Пусть q(t) = t²−at+a²−16. Его дискриминант D = 64−3a², а q(−1) = a²+a−15.
При D < 0 корней нет. При D > 0 обозначим корни t₁ < t₂. Ровно один из них больше −1 тогда и только тогда, когда t₁ < −1 < t₂, то есть q(−1) < 0.
Действительно, при q(−1) > 0 оба корня находятся по одну сторону от −1, поэтому исходное уравнение имеет либо ноль, либо два корня. При q(−1) = 0 оно имеет бесконечно много корней.
Неравенство a²+a−15 < 0 даёт (−1−√61)/2 < a < (−1+√61)/2. При этом D > 0 автоматически: отрицательное значение квадратного трёхчлена с положительным старшим коэффициентом гарантирует два различных корня.
При D = 0 получаем a = ±8√3/3 и единственный корень t = a/2. Условие t > −1 выполняется только при a = 8√3/3; при отрицательном значении параметра t = −4√3/3 < −1.
Ответ: a ∈ ((−1−√61)/2; (−1+√61)/2) ∪ {8√3/3}.