Решите неравенство
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и замена переменной.
3^x + 9 > 0, а знаменатели 3^x − 9 и 9^x − 81 обращаются в нуль только при x = 2.
ОДЗ: x ≠ 2.
Положим t = 3^x. Тогда t > 0, t ≠ 9, 9^x = t² и 4·3^(x + 1) = 12t.
б) Равносильные преобразования.
Перенесём правую часть влево и приведём дроби к общему знаменателю:
((t + 9)² + (t − 9)² − 12t − 144)/(t² − 81) ≥ 0.
Числитель равен 2t² − 12t + 18 = 2(t − 3)².
Следовательно, 2(t − 3)²/((t − 9)(t + 9)) ≥ 0, где t > 0 и t ≠ 9.
в) Метод интервалов и граничные точки.
В области t > 0 критические точки — 3 и 9; множитель t + 9 положителен.
На (0; 3) и (3; 9) дробь отрицательна, на (9; +∞) — положительна.
При t = 3 дробь равна нулю, эту точку включаем; при t = 9 дробь не определена, эту точку исключаем.
Таким образом, t = 3 или t > 9.
Возвращаясь к x, получаем 3^x = 3 или 3^x > 9. Поскольку функция 3^x возрастает, x = 1 или x > 2.
Ответ: {1} ∪ (2; +∞).