В прямоугольном треугольнике точки и — середины гипотенузы и катета соответственно, точка отмечена на катете так, что
а) Докажите, что
б) Пусть — точка пересечения отрезков и . Найдите длину отрезка прямой заключённого внутри треугольника если
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Введём прямоугольную систему координат: C(0; 0), A(a; 0), B(0; b), где a = AC, b = BC.
По формуле координат середины отрезка M(a/2; b/2), N(0; b/2). Из CK:KB = 1:3 следует CK = b/4, поэтому K(0; b/4).
По формуле расстояния между точками AN² = a² + b²/4, а KM² = a²/4 + (b/2 − b/4)² = a²/4 + b²/16.
Таким образом, AN² = 4KM². Поскольку длины положительны, AN = 2KM.
Ответ: AN = 2KM.
б) Прямая AN имеет уравнение y = b/2 − bx/(2a), а прямая KM — уравнение y = b/4 + bx/(2a).
Приравнивая правые части, получаем bx/a = b/4, откуда x = a/4 и y = 3b/8. Следовательно, P(a/4; 3b/8).
При a = 6, b = 8 получаем P(3/2; 3), B(0; 8). Уравнение прямой BP: y = 8 − 10x/3.
Обозначим через Q точку её пересечения с AC. При y = 0 получаем x = 12/5, то есть Q(12/5; 0).
Поскольку 0 < 12/5 < 6, точка Q лежит на катете AC. Точка P находится внутри треугольника, поэтому искомый отрезок прямой BP — это BQ.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BCQ: BQ = √(BC² + CQ²) = √(64 + 144/25) = √(1744/25) = 4√109/5.
Ответ: 4√109/5.