Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если А= , В1С1= и площадь треугольника АВ1С1 в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности. По теореме о двух секущих, проведённых из точки A, AB · AC₁ = AC · AB₁.
Следовательно, AB/AB₁ = AC/AC₁. Углы BAC и B₁AC₁ равны, поскольку образованы теми же лучами.
По двум пропорциональным сторонам и углу между ними треугольники ABC и AB₁C₁ подобны, причём вершинам A, B, C соответствуют A, B₁, C₁.
Ответ: доказано.
б) Обозначим площадь треугольника AB₁C₁ через S. Тогда площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 5S, а площадь треугольника ABC равна 6S.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому коэффициент подобия равен √6. Следовательно, BC = √6 · B₁C₁ = 5√6.
Положим AC₁ = u. Из подобия AC = √6u.
По теореме косинусов в треугольнике AC₁C получаем: C₁C² = u² + (√6u)² − 2u · √6u · cos 30° = u²(7 − 3√2).
Таким образом, C₁C = u√(7 − 3√2). Обозначим ∠AC₁C через φ. По теореме синусов в треугольнике AC₁C имеем sin φ = AC · sin 30°/C₁C = √6u/(2C₁C).
Лучи C₁A и C₁B противоположны, поэтому sin ∠BC₁C = sin φ. Окружность из условия описана около треугольника BC₁C, и по расширенной теореме синусов 2R = BC/sin φ.
Отсюда R = 5√6 · C₁C/(√6u) = 5√(7 − 3√2) = √(175 − 75√2).
Ответ: BC = 5√6; R = √(175 − 75√2) = 5√(7 − 3√2).