В трапеции угол прямой. Окружность, построенная на большем основании как на диаметре, пересекает меньшее основание в точках и .
а) Докажите, что .
б) Диагонали трапеции пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если , а .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Точки A, M, C, D лежат на одной окружности, причём на меньшем основании точки расположены в порядке B, M, C.
Поскольку MC ∥ AD, сумма углов AMC и MAD равна 180°. Вписанный четырёхугольник AMCD даёт ∠AMC + ∠ADC = 180°. Следовательно, ∠MAD = ∠ADC.
Угол ACD прямой, поскольку опирается на диаметр AD. Поэтому ∠CAD = 90° − ∠ADC.
Так как ∠BAD = 90°, имеем ∠BAM = 90° − ∠MAD. Учитывая равенство ∠MAD = ∠ADC, получаем ∠BAM = ∠CAD.
Ответ: ∠BAM = ∠CAD, что и требовалось доказать.
б) Прямая AB перпендикулярна диаметру AD, поэтому является касательной к окружности в точке A. По теореме о касательной и секущей BA² = BM · BC.
Пусть BM = x, тогда BC = 2x. Получаем 10 = 2x², откуда x = √5 и BC = 2√5.
Опустим из C перпендикуляр CH на AD. Четырёхугольник ABCH — прямоугольник, поэтому CH = AB = √10 и AH = BC = 2√5.
В прямоугольном треугольнике ACD высота CH проведена к гипотенузе AD. По теореме о высоте CH² = AH · HD, поэтому HD = 10/(2√5) = √5. Значит, AD = AH + HD = 3√5.
Треугольники AOD и COB подобны по двум углам: углы AOD и COB вертикальные, а углы ADO и CBO равны при AD ∥ BC. Поэтому AO/OC = AD/BC = 3/2, откуда AO/AC = 3/5.
Треугольники AOB и ACB имеют общую высоту из B к прямой AC. Следовательно, S(AOB)/S(ACB) = AO/AC = 3/5.
Так как AB ⟂ BC, S(ACB) = AB · BC/2 = √10 · 2√5/2 = 5√2. Значит, S(AOB) = (3/5) · 5√2 = 3√2.
Ответ: 3√2.