На сторонах , и треугольника отмечены точки , и соответственно, причём , , . Отрезки и пересекаются в точке .
а) Докажите, что четырёхугольник параллелограмм.
б) Найдите , если отрезки и перпендикулярны, , .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Применим теорему Менелая к треугольнику ABB₁ и прямой C₁DC, пересекающей продолжение стороны AB₁ за точку B₁:
(AC₁/C₁B) · (BD/DB₁) · (B₁C/CA) = 1.
Так как AC₁/C₁B = 21/10 и B₁C/CA = 5/7, получаем BD/DB₁ = 2/3, откуда BD/BB₁ = 2/5.
По условию BA₁/BC = 2/5. Следовательно, BD/BB₁ = BA₁/BC, и по обратной теореме Фалеса DA₁ ∥ B₁C.
Треугольники BDA₁ и BB₁C подобны с коэффициентом 2/5, поэтому DA₁ = (2/5)B₁C = (2/5) · (5/7)AC = (2/7)AC = AB₁.
Итак, в четырёхугольнике ADA₁B₁ противоположные стороны DA₁ и AB₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма ADA₁B₁ — параллелограмм.
Ответ: доказано.
б) По условию AC = 63, поэтому AB₁ = 18, B₁C = 45. Кроме того, A₁C = (3/5)BC = 15.
В доказанном параллелограмме B₁A₁ ∥ AD. Поскольку AD ⟂ BC, треугольник CA₁B₁ прямоугольный с прямым углом при A₁.
Следовательно, cos ∠B₁CA₁ = CA₁/CB₁ = 15/45 = 1/3.
Из пункта а) DA₁ = AB₁ = 18. Луч A₁D сонаправлен лучу CB₁, а луч A₁C противоположен лучу CA₁, поэтому ∠DA₁C = 180° − ∠B₁CA₁ и cos ∠DA₁C = −1/3.
По теореме косинусов в треугольнике DA₁C: CD² = 18² + 15² − 2 · 18 · 15 · (−1/3) = 324 + 225 + 180 = 729.
Таким образом, CD = 27.
Ответ: 27.