Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает бо́льшую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Обозначим радиусы меньшей и большей окружностей через r и R.
При внутреннем касании центры окружностей и точка C лежат на одной прямой, причём центры находятся на одном луче с началом C.
Поэтому гомотетия с центром C и коэффициентом R/r переводит меньшую окружность в большую.
Меньший круг содержится в большем, поэтому точки A и E лежат на одном луче из C, как и точки D и B. Следовательно, эта гомотетия переводит A в E, а D в B.
Прямая AD не проходит через центр гомотетии, поэтому её образ EB параллелен ей.
Ответ: AD ∥ BE.
б) Вычисление.
Пусть AC = BC = x. По доказанному свойству гомотетии CB/CD = R/r = 4/3, откуда CD = 3x/4.
Так как ∠ACD = 90°, хорда AD меньшей окружности является её диаметром по теореме о вписанном угле. Значит, AD = 2r = 6.
По теореме Пифагора в треугольнике ACD: x² + (3x/4)² = 36.
Следовательно, 25x²/16 = 36, x² = 576/25. Поскольку x > 0, получаем x = 24/5 = 4,8.
Ответ: AC = 4,8.