а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
По формуле синуса суммы 2sin(2x + π/6) = √3 sin 2x + cos 2x.
Подставим это выражение в уравнение и сократим одинаковые слагаемые в обеих частях:
sin x + cos 2x = 1.
Используя формулу cos 2x = 1 − 2sin²x, получаем sin x − 2sin²x = 0.
Разложим левую часть на множители: sin x(1 − 2sin x) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда sin x = 0 или sin x = 1/2.
Первое уравнение даёт x = πk; второе — x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Ответ: πk, k ∈ Z; π/6 + 2πk, k ∈ Z; 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство, задающее принадлежность отрезку.
Для x = πk: −7π/2 ≤ πk ≤ −2π, откуда −7/2 ≤ k ≤ −2.
Поэтому k = −3 или k = −2; получаем корни −3π и −2π.
Для x = π/6 + 2πk: −7/2 ≤ 1/6 + 2k ≤ −2, откуда −11/6 ≤ k ≤ −13/12.
Целых чисел в этом промежутке нет, поэтому данная серия корней не даёт.
Для x = 5π/6 + 2πk: −7/2 ≤ 5/6 + 2k ≤ −2, откуда −13/6 ≤ k ≤ −17/12.
Единственное целое число в этом промежутке — k = −2. Получаем x = 5π/6 − 4π = −19π/6.
Ответ: −19π/6; −3π; −2π.