а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Все выражения определены при любом действительном x.
Используем формулу 2sin²x = 1 − cos 2x: 16^(sin²x) = 4^(2sin²x) = 4^(1 − cos 2x).
Положим t = 4^(cos 2x), t > 0. Тогда 4^(1 − cos 2x) = 4/t, и исходное уравнение принимает вид 16/t − 6t = 29.
Умножение на t > 0 даёт равносильное уравнение 6t² + 29t − 16 = 0.
Разложим на множители: (2t − 1)(3t + 16) = 0. Получаем t = 1/2 или t = −16/3; второе значение не подходит, поскольку t > 0.
Следовательно, 4^(cos 2x) = 1/2 = 4^(−1/2). По строгой монотонности показательной функции cos 2x = −1/2.
Отсюда 2x = ±2π/3 + 2πk, то есть x = ±π/3 + πk, k ∈ Z.
Ответ а): ±π/3 + πk, k ∈ Z.
б) Для серии x = π/3 + πk условие принадлежности отрезку имеет вид 3π/2 ≤ π/3 + πk ≤ 3π.
Отсюда 7/6 ≤ k ≤ 8/3, поэтому k = 2 и x = 7π/3.
Для серии x = −π/3 + πk получаем 3π/2 ≤ −π/3 + πk ≤ 3π, откуда 11/6 ≤ k ≤ 10/3.
Следовательно, k = 2 или k = 3, что даёт x = 5π/3 или x = 8π/3. Обе серии рассмотрены, поэтому других корней на отрезке нет.
Ответ б): 5π/3; 7π/3; 8π/3.