а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Используем нечётность синуса sin(−x) = −sin x и тождество cos² x = 1 − sin² x:
2sin x − 2√3 sin x − 4(1 − sin² x) = √3 − 4.
После раскрытия скобок и переноса слагаемых получаем равносильное уравнение:
4sin² x + (2 − 2√3)sin x − √3 = 0.
Разложим левую часть на множители: (2sin x − √3)(2sin x + 1) = 0.
Следовательно, sin x = √3/2 или sin x = −1/2.
Первое уравнение даёт x = π/3 + 2πk или x = 2π/3 + 2πk; второе — x = −π/6 + 2πk или x = −5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Ответ а): π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk; −π/6 + 2πk; −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Для каждой серии решим двойное неравенство 2π ≤ x ≤ 7π/2.
Для x = π/3 + 2πk получаем 5/6 ≤ k ≤ 19/12. Подходит только k = 1, поэтому x = 7π/3.
Для x = 2π/3 + 2πk получаем 2/3 ≤ k ≤ 17/12. Подходит только k = 1, поэтому x = 8π/3.
Для x = −π/6 + 2πk получаем 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.
Для x = −5π/6 + 2πk получаем 17/12 ≤ k ≤ 13/6. Подходит только k = 2, поэтому x = 19π/6.
Все серии рассмотрены, поэтому отбор корней завершён.
Ответ б): 7π/3; 8π/3; 19π/6.