а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Перенесём правую часть влево и используем тождество cos² x − 1 = −sin² x:
2 sin² x cos x + √2(cos² x − 1) = 0.
Вынося sin² x за скобки, получаем равносильное уравнение:
sin² x(2 cos x − √2) = 0.
Следовательно, sin x = 0 или cos x = √2/2.
Ответ а): x = πk или x = ±π/4 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = πk условие −7π/2 ≤ πk ≤ −2π равносильно −7/2 ≤ k ≤ −2. Целые значения k = −3 и k = −2 дают x = −3π и x = −2π.
Для x = π/4 + 2πk получаем −7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ −2π, откуда −15/8 ≤ k ≤ −9/8. Целых значений k нет.
Для x = −π/4 + 2πk получаем −7π/2 ≤ −π/4 + 2πk ≤ −2π, откуда −13/8 ≤ k ≤ −7/8. Единственное целое значение k = −1 даёт x = −9π/4.
Ответ б): −3π; −9π/4; −2π.