а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 2 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Уравнение определено при всех действительных x.
Используем нечётность синуса, чётность косинуса и формулу sin 2x = 2 sin x cos x:
2 sin x cos x + sin x + 2 cos x + 1 = 0.
Группируя слагаемые, получаем равносильное уравнение:
(sin x + 1)(2 cos x + 1) = 0.
Следовательно, sin x = −1 или cos x = −1/2.
Ответ а): x = −π/2 + 2πk или x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств.
Для x = −π/2 + 2πk условие 3π/2 ≤ −π/2 + 2πk ≤ 3π равносильно 1 ≤ k ≤ 7/4. Единственное целое значение k = 1 даёт x = 3π/2.
Для x = 2π/3 + 2πk получаем 3π/2 ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 3π, откуда 5/12 ≤ k ≤ 7/6. При k = 1 получаем x = 8π/3.
Для x = −2π/3 + 2πk получаем 3π/2 ≤ −2π/3 + 2πk ≤ 3π, откуда 13/12 ≤ k ≤ 11/6. Целых значений k нет.
Ответ б): 3π/2; 8π/3.