В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 8. Точка — середина ребра . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и . Прямая пересекает плоскость в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите объём пирамиды .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 3 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) Доказательство.
Пусть O — центр основания. Введём прямоугольную систему координат: начало в M, ось x направлена вдоль MB, ось y лежит в основании и направлена внутрь шестиугольника, ось z перпендикулярна основанию.
Из свойств правильного шестиугольника со стороной 2 получаем: A(−1; 0; 0), B(1; 0; 0), C(2; √3; 0), D(1; 2√3; 0), O(0; √3; 0).
В правильной пирамиде SO перпендикулярно основанию. Поскольку OA = 2, по теореме Пифагора SO = √(SA² − OA²) = √(64 − 4) = 2√15. Поэтому S(0; √3; 2√15).
Плоскость α проходит через MD и перпендикулярна основанию, поэтому состоит из прямых, перпендикулярных основанию и проходящих через точки MD. Её уравнение: y = 2√3x.
Точки прямой SC имеют координаты (2t; √3; 2√15(1 − t)). Для точки K выполняется √3 = 2√3 · 2t, откуда t = 1/4.
Следовательно, K(1/2; √3; 3√15/2). Её проекция на основание Q(1/2; √3; 0) — середина MD.
Так как KQ перпендикулярно основанию, треугольники KQM и KQD прямоугольные. У них общий катет KQ и равные катеты QM и QD, поэтому их гипотенузы равны: KM = KD.
Ответ: KM = KD, что и требовалось доказать.
б) Вычисление объёма.
В качестве основания пирамиды CDKM возьмём треугольник CDM. Его высота из K равна KQ = 3√15/2.
В основании шестиугольника CD = 2, а прямая CD имеет уравнение √3x + y = 3√3. Найдём расстояние от M до этой прямой школьным способом через площадь.
Площадь треугольника MBD равна MB · 2√3/2 = √3. Площадь треугольника BCD равна BC · CD · sin 120°/2 = √3.
Площадь треугольника MBC равна MB · √3/2 = √3/2. Разбивая четырёхугольник MBCD двумя диагоналями, получаем S(CDM) = S(MBD) + S(BCD) − S(MBC) = 3√3/2.
По формуле объёма пирамиды V = S(CDM) · KQ/3 = (3√3/2) · (3√15/2)/3 = 9√5/4.
Ответ: 9√5/4.