Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке .
Решите на листке, откройте ответ и критерии ФИПИ и поставьте себе балл — максимум 4 балла.
Ответ и самопроверка — после «Завершить вариант».
Критерии ФИПИ (демоверсия 2027):
а) ОДЗ и возможные корни. Необходимо выполнение условий x ≥ 1/2, 4x − a > 0 и 5x + a > 0.
На ОДЗ уравнение равносильно √(2x − 1)(ln(4x − a) − ln(5x + a)) = 0.
Произведение равно нулю, когда √(2x − 1) = 0 или ln(4x − a) = ln(5x + a). По строгой монотонности логарифма получаем кандидатов x = 1/2 и x = −2a.
б) Условия допустимости кандидатов. Число x = 1/2 принадлежит [0; 1]. Для него условия на аргументы имеют вид 2 − a > 0 и 5/2 + a > 0. Следовательно, этот корень существует при −5/2 < a < 2.
Для x = −2a ограничения на отрезок и квадратный корень дают 1/2 ≤ −2a ≤ 1, откуда −1/2 ≤ a ≤ −1/4.
Оба аргумента логарифмов при x = −2a равны −9a и положительны на всём промежутке [−1/2; −1/4]. Поэтому второй кандидат допустим ровно при a ∈ [−1/2; −1/4].
Кандидаты совпадают при −2a = 1/2, то есть a = −1/4. При этом значении имеется ровно один корень.
в) Разбор всех случаев. Если a ≤ −5/2 или a ≥ 2, ни один кандидат не подходит, поэтому корней нет.
Если −5/2 < a < −1/2 или −1/4 < a < 2, допустим только x = 1/2, поэтому корень ровно один.
Если −1/2 ≤ a < −1/4, допустимы два различных корня. В частности, при a = −1/2 это 1/2 и 1, поэтому левая граница исключается. При a = −1/4 кандидаты совпадают, поэтому это значение включается. Границы −5/2 и 2 исключаются по ОДЗ.
Ответ: a ∈ (−5/2; −1/2) ∪ [−1/4; 2).